Суперфрактал - Деменок Сергей

При достаточно большом n эта формула аппроксимирует нормальное распределение.

С появлением ЭВМ появились алгоритмы компьютерной генерации случайных чисел. Одним из первых был предложен алгоритм «середины квадрата». Он был предложен в 1946 году фон Неманом. Алгоритм позволяет генерировать числа с любым числом знаков, соответствующим возможности ЭВМ.

Метод очень прост. Допустим, что нужны четырехзначные числа. Выбираем первое число Х0 произвольно. Например, X0 = 8219. Возводим его в квадрат. Получится восьмизначное число 67 551 961. Извлекаем средние цифры: 5519. Следующим числом последовательности является X1 = 5519. Возводим в квадрат 5519, получаем 30459361. Следующее случайное число Х2 = 4593. Если первые из средних цифр оказываются нолями, то получается число с меньшим количеством знаков. Например, Х22 =21095 649, Х3 = 956. Возводя его в квадрат, нужно получить восьмизначное число, дописав спереди ноли Х32 = 00913936, так что Х4 = 9139 и т. д. Производные случайные числа Yn, равномерно распределенные в интервале от ноля до единицы, получаются из чисел Хn по формуле Yn = Хn/1000, где n = 0, 1, 2, 3, ..., так что Y0 = 0,8219; Y1 = 0,5519; Y2 = 0,4593 и т. д.

На первый взгляд метод кажется хорошим. Однако тщательное исследование показало, что это далеко не так. Главный недостаток метода состоит в том, что при некоторых начальных числах последовательность «зацикливается». Выяснилось, например, что в классе четырехзначных чисел последовательности часто завершаются циклом 6100, 2100, 4100, 8100, 6100. Период цикла равен всего-навсего четырем, что, конечно, никуда не годится. Существует число, которое сразу же воспроизводит самое себя. Это 3792 (37922= 14 379 264). Воспроизводит себя также ноль, и очень часто последовательности, полученные методом середины квадрата, вырождаются в ноль. Поэтому метод середины квадрата представляет в наше время лишь исторический интерес. В настоящее время разработано множество более совершенных методов. При этом оказывается, что для ЭВМ различных конструкций оптимальными являются разные генераторы.

В любом случае математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение внешних воздействий — задаются до начала расчетов. В качестве примеров рассмотрим алеаторные кривые Коха и алеаторные фракталы Мандельброта. Алеаторные фракталы Коха построены при μ = 0. Расчеты показывают, что математическое ожидание не влияет на форму линейного фрактала, приводя только к смещению его относительно осей координат. Что же касается среднеквадратичного отклонения, то с увеличением рассеяния случайных возмущений форма фрактала Коха «размазывается и распыляется».

В наших расчетах использовался генератор случайных чисел Random (G), производящий случайное рассеивание с нормальным законом распределения. Построение кривой Коха выполняется с помощью двух СИФ-преобразований функций вида:

1. х = 0,5х + by     у = bx - 0,5у.2. х = 0,5х - by + 0,5      y = bx - 0,5 у + b,

где b = 1/(2sqrt(3)).

Возмущающее воздействие на каждом шаге итерации вводится как на расчетные параметры (α = α + RandAB, b = b + RandAB), так и на координаты (PX+RandP, PY+RandP) согласно итерационному алгоритму «замешивания» случайной величины. Алгоритм вычислений показан на рисунке на с. 204.

Алгоритм построения алеаторного фрактала Коха

Результат вычислений производит ожидания. Алеаторные фракталы Коха были получены при μ = 0. Как в случае нормального распределения случайных величин, так и при генерации квазислучайных действительных чисел качественно результат одинаков: с увеличением степени рассеяния случайных величин кривая Коха не просто распыляется, но производит скопление точек с явно видной направленностью. Математическое ожидание в случае линейного фрактала Коха приводит лишь к сдвигу фигуры по осям координат, который не влияет на форму самой фигуры.

Построение фрактала Мандельброта производится по формуле

Zn = Z02 + C

с добавлением оператора Random по параметру С или по координатам точки Z.

Алеаторный фрактал Коха при μ = 0:

а) при нормальном распределении случайных величин и σ = 0; σ = 0,03; σ = 0,3 соответственно;

б) при квазислучайном распределении действительных чисел с диапазоном разброса 20, 60 и 300 соответственно

Упрощенный алгоритм расчета, записанный на условном языке программирования, приведен на рисунке (с. 206).

Структурная схема упрощенного алгоритма построения алеаторного фрактала Мандельброта

Необходимо отметить, что возмущающее воздействие по параметру (а = а + RandAB, b = b + RandAB) перекрестно влияет на действительную и мнимую части координат, а возмущающее воздействие на координаты точки Z (PX+RandP, PY+RandP) имеет независимый и более грубый характер влияния на их значения. Результаты, полученные при μ = 0, демонстрируют формирование асимметрии, сопутствующей размыванию привычной картинки Мандельброта.

Нами замечено, что, в отличие от линейного фрактала Коха, форма нелинейного фрактала Мандельброта чувствительна к величине математического ожидания, что отлично иллюстрируют алеаторные фракталы Мандельброта, приведенные на верхнем рисунке (с. 208).

Наконец, самый наглядный эффект влияния случайных возмущений на форму фрактала в целом показан на последнем рисунке. Здесь мы видим, что главные кардиоида и круг радикально изменяют свою форму при изменении случайного воздействия. Появляются совершенно новые формы — символы, напоминающие сердце, знак пик, знаки слияния и разделения.

Алеаторный фрактал Мандельброта при μ = 0:

а) в полном изображении при σ = 0; σ = 0,042 и σ = 0,073 соответственно;

б) в увеличенном фрагментарном изображении в прямоугольнике Xmin = -1,5; Хтах = +0,5 и Ymin = -1,0; Ymax = + 1,0 при σ = 0; σ = 0,05; σ = 0,07 и σ = 1,0

Алеаторные фракталы Мандельброта при σ = 0 и μ = 0,03; μ = 0,1; μ = 0,3; μ = 0,5 соответственно

Любая модель, будучи абстракцией, не столько отражает реальность как она есть, сколько служит инструментом для выявления реальности как она должна стать. Аттрактор в фазовом пространстве динамической системы — это пример того, что с высокой степенью вероятности может стать реальностью. Аттрактор может быть точкой, кругом, тором или фракталом.

Фрактал может служить иллюстрацией описанных представлений, в которых формальное (имеющее форму), действенное (процесс) и символическое (инвариант) образуют единое согласованное целое. Форма фрактала и алгоритм построения фрактала «некоммутативны» в том смысле, что они не зависят друг от друга. Чтобы они сцепились, чтобы активировался тот или иной алгоритм и чтобы появилась та или иная форма, нужен своего рода резонанс. Если структура алгоритма, структура формы и структура внешних условий входят в согласие, появляется фрактал. Алгоритм работает, форма появляется, окружение не сопротивляется. Фрактал есть репрезентация того, что структурирована не форма сама по себе и не алгоритм сам по себе, но организация формы, алгоритма и внешних условий. Эффект такого резонансного поведения формы, алгоритма и внешних условий символизирует появление символического кода — фрактальной размерности.