Суперфрактал - Деменок Сергей

Таким образом, граница между порядком и хаосом представляет собой слой, в котором монофрактальные структуры со стороны порядка трансформируются в мультифрактальные структуры на стороне хаоса.

Пример 5. Мультифрактал Серпинского

Рассмотрим треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ. Система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех преобразований на комплексной плоскости, каждое из которых выбирается с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Допустим, однако, что в методе случайных итераций мы теперь по какой-то причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника и стали выбирать ее с вероятностью 90%. Две же остальные вершины равноценны, и на их долю приходится по 5%. Точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. Тем не менее основное свойство фрактала — самоподобие — по-прежнему соблюдается, фрактальная размерность сохраняется:

Такое совпадение заставляет заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного. Такое обобщение понятия размерности реализовано в обобщенных размерностях Реньи (см. далее), которые в частном случае при равенстве всех размерностей Реньи между собой описывают классический монофрактал, а при их различности — мультифрактал. Рассмотрим некоторую «популяцию», состоящую из «особей», распределенных по объему А с характерным линейным размером L. Распределение ошибок в канале связи может служить примером одномерной популяции. Распределение народонаселения на поверхности Земли — пример двухмерной популяции, а пространственное распределение энергии в турбулентном потоке — пример трехмерной популяции. Точки таких популяций часто подвержены пространственным флуктуациям. Например, золото встречается в высоких концентрациях лишь в немногих местах, в более низких концентрациях — в существенно большем числе мест и в очень низких концентрациях — почти повсюду. С исследованием распределения физических или каких-нибудь других величин на геометрическом носителе связаны мультифрактальные меры.

Треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной ε и объемом εd соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N(ε) число таких ячеек, оно очевидно зависит от ε. Пусть ni(ε) — число точек в i-й ячейке. Тогда величина

есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки.

По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -∞ ⩽ q ⩽ +∞.

Выдающийся венгерский математик Альфред Реньи как-то высказался:

 «Математик — это автомат по переработке кофе в теоремы».

Он сам был таким «автоматом». После него осталось более трехсот пятидесяти публикаций по теории вероятностей, математической статистике, теории информации, комбинаторике, теории графов, теории чисел и математическому анализу. С октября 1946-го по июнь 1947 года он проходил докторантуру в Ленинградском отделении Математического института им. В. И. Стеклова. За полгода он овладел русским языком и блестяще защитил диссертацию. С 1950 года и до конца жизни А. Реньи возглавлял созданный им Математический институт Академии наук Венгерской Народной Республики. В начале 1960-х годов он обратился к теории размерностей. Появились и стали общепринятыми такие понятия, как размерности Реньи и энтропия Реньи.

Согласно формальному определению спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А, называется совокупность величин:

где

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. Если dq = const, т. е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной — фрактальной размерностью dH. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией τ(q), определяющей поведение статистической суммы Z(q, ε) при ε → 0. Следует иметь в виду, что предельный переход при ε→0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N→0.

В случае обычного фрактала функция является линейной.

Тогда все dq = d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности dq которого совпадают, часто используется термин «монофрактал». Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то перед нами мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей dq, число которых, в общем случае, бесконечно.

--165

Так, например, при q→∞ основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц ni в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения рi. Наоборот, при q→-∞ основной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения рi. Таким образом, функция dq показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек А.

Например, размерность d0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. Информационная размерность d1 представляет собой энтропию фрактального множества и показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ε к нулю. Корреляционная размерность d2 определяет зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества А лежат внутри одной ячейки с размером ε.

Важно понимать, что размерности Реньи не являются фрактальными размерностями. При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной запыленностью. Мультифрактальный спектр состоит из ячеек с одинаковой вероятностью запыленности (рi ~ εa). Таким образом,

мультифрактал — это объединение однородных фракталов.

Факт неравномерной структуры заполнения пространства находит свое отражение в понятии «скважности». Еще в «Технической энциклопедии» П. А. Флоренского в статье «Скважность» сказано, что скважность есть общее свойство твердых тел, сводящееся к неравенству локальных значений занимаемого ими объема. И далее Флоренский поясняет:

«Под объемом физического тела разумеется область непроницаемости, обусловленная присутствием этого тела. Понятие объема без признака непроницаемости в отношении физического тела не может быть построено. Но признак непроницаемости соотносит понятие объема с тем приемом, посредством которого устанавливаются границы области, непроницаемой для данного испытания».