Суперфрактал - Деменок Сергей

Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия

Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°

Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.

Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».

Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)

Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.

Итого 24 преобразования

В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.

Процесс преобразования — существенный элемент симметрии.

Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа — «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.

Симметрия означает форму, процесс преобразования и символическое число.

Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:

«Прекрасное мало-помалу возникает из множества чисел».

Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:

«[Платоновы тела] проходят через всю историю  науки. Пифагорейцы видели в них символы некоего  мистического совершенства... Тринадцать книг Евклида служили лишь введением к их построению... А в наши дни они снова вступают в поле зрения математиков».

Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».

Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Нахождение того, какие перестановки являются симметриями этого уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть то, в чем можно быть уверенным без всяких вычислений. Набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней. Почему? Предположим, например, что перестановки Р и R сохраняют все алгебраические отношения между корнями. Если к некоторому алгебраическому уравнению применить R, то получится верное соотношение. Если применить Р, то снова получится верное соотношение. Теперь, если применить R, а затем Р, — это то же самое, что применить Р, а затем — R. Следовательно PR = RP, то есть PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым качеством. Все это Эварист Галуа понял в свои двадцать лет. Это, собственно, и есть то, что сделал Галуа. Он открыл, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа симметрии. Такую абстрактную симметрию Эвариста Галуа теперь называют «группой Галуа».

В 1872 году в докладе по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн предложил рассматривать геометрию как

«изучение свойств пространства, инвариантных  относительно той или иной группы преобразований».

Идею геометрического подобия и геометрической симметрии Клейн соединял с идеей перемещений. При изучении геометрии, утверждал Клейн, нужно рассматривать не только треугольники, окружности, икосаэдры или какие-либо другие фигуры, но и перемещения. Перемещения, которые могут растягивать и скручивать объекты, так же как сдвиг, следует считать геометрическими. Кроме того, соотношения между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. Прежде всего следовало строго определить понятие симметрии. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль смог точно и элегантно определить симметрию:

«Вещь считается симметричной, если мы можем  с ней что-то сделать таким образом, что после этого она выглядит так же, как раньше».

До Галуа это понятие было довольно расплывчато. После Галуа симметрия — это специальный вид преобразований. Это некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.

Симметрия — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта.

В таком определении симметрии есть три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Симметрия есть нечто, что сохраняется в переменчивом мире вещей и явлений. Эта идея стала популярной после того, как в 1918 году Амалия Эмми Нетер, приват-доцент Геттингенского университета, доказала одну из самых известных теорем. Теорема Нетер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвариантны) относительно непрерывных изменений или преобразований во времени.